Caio Ramos Ballarin

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Produções bibliográficas

• BALLARIN, C. R. ; TEREZIO, E. M. ; CANAL, C. A. . Álgebra Linear Simplética. 2023. (Apresentação de Trabalho/Conferência ou palestra).

Projetos de pesquisa

• 2023 - Atual

  Classificação das transformações de Mobius, Descrição: A geometria euclidiana se baseia em 5 axiomas, a saber: (1) Dois pontos determinam uma única reta; (2) Qualquer segmento pode ser prolongado a uma reta; (3) Pode-se traçar um círculo de qualquer centro e qualquer raio; (4) Todos os ângulos retos são iguais; (5) Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois ângulos retos, então as duas retas se interceptam no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor que dois ângulos internos. Assumindo os quatro primeiros axiomas, o quinto axioma é equivalente ao mais conhecido axioma das paralelas: "Dada uma reta e um ponto fora da reta dada, então existe uma única reta paralela a reta dada e que contém o ponto dado". Os quatro primeiros axiomas são bastante intuitivos de nossa experiência empírica, mas claramente o último axioma destoa dos demais por não ter a mesma natureza intuitiva. Isso instigou muitos matemáticos a questionarem se esse último axioma não se tratava de um teorema dedutível dos demais 4 axiomas. Esse problema persistiu por aproximadamente 2 mil anos e apenas no início do século XIX, com trabalhos independentes de N.I. Lobachevski, J. Bolyai e C.F. Gauss, a prova da independência do quinto axioma tomou forma. O que esses trabalhos mostravam é que ao assumir uma negação do quinto axioma era possível construir toda uma nova geometria, sem qualquer contradição. Isso deu origem a Geometria Hiperbólica, uma geometria não-euclidiana, que no lugar do axioma das paralelas assume a seguinte negação: "Dada uma reta e um ponto fora da reta dada, então existe pelo menos duas retas paralelas a reta dada e que contém o ponto dado. A prova definitiva da independência do quinto axioma dos demais foi dada por E. Beltrami, em meados do século XIX, quando ele construiu um modelo da geometria hiperbólica em um ambiente da geometria euclidiana. Existem muitos modelos para trabalharmos o plano hiperbólico H^2 que são geometricamente equivalentes (ver referência [2]), dentre os quais, destacamos o modelo do semiplano. Nesse modelo, consideramos H^2 como sendo semiplano dos complexos formado pelo números complexos cuja parte imaginária é positiva e definimos dois tipos de retas hiperbólicas: a intercessão de retas euclidianas perpendiculares ao eixo real com H^2 e a intercessão de circunferências com centro no eixo real com H^2. Esses dois tipos de retas podem ser unificados quando trabalhamos com o plano complexo estendido ou, equivalentemente, com a Esfera de Riemann. Nesse caso, as retas hiperbólicas são obtidas de circunferências da Esfera de Riemann através da projeção estereográfica. Buscando estudar aplicações no plano complexo que preservam retas hiperbólicas estudamos aplicações no plano complexo estendido que preservam circunferências, as quais serão isometrias do plano hiperbólico. Em destaque, surgem as transformações de Mobius. Uma transformação de Mobius no plano complexo estendido é uma transformação da forma z > f(z) = (az + b)/(cz + d), com a, b, c e d números complexos satisfazendo ad - bc = 1. É possível provar que essas transformações preservam o plano hiperbólico H^2 apenas no quando os coeficientes são números reais. Nosso objetivo neste trabalho é estudar a classificação das transformação de Mobius a menos de conjugação. Mais precisamente, dizemos que duas transformações de Mobius f(z) e g(z) são conjugadas se existem um transformação de Mobius p(z) tal que f(z) = (p^{-1}*g*p) (z), onde * denota a composta de funções. Será visto que a classificação está relacionada com o número de pontos fixos da aplicação. Justificativa: O estudo das transformações de Mobius que preservam o plano hiperbólico está relacionado com o grupo SL(2, R), formado pelas matrizes 2x2 com entradas reais e determinante 1. Ou seja, a classificação das transformações de Mobius está relacionada com a classificação de matrizes no gru. , Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (1) / Doutorado: (1) . , Integrantes: Caio Ramos Ballarin - Integrante / Cleilton Aparecido Canal - Coordenador.

• 2022 - Atual

  Propriedades algébricas e geométricas dos operadores semissimpléticos, Descrição: ntrodução Uma forma de se estudar o espaço euclidiano 3-dimensional analiticamente é considerando-o como um espaço vetorial munido de um produto escalar, o que nos permite expressar algebricamente conceitos geométricos como distância e ângulo. Uma generalização vista nos cursos de álgebra linear para um espaço vetorial n-dimensional V, se faz considerando um produto interno, ou seja, uma aplicação < , >: V x V -> R que é linear em cada variável, simétrica e positiva definida. Para esses espaços, o fato de o produto interno ser positivo definido, nos permite definir o comprimento dos vetores e o cosseno do ângulo entre vetores. Em particular, quando consideramos o espaço R^n munido do produto interno canônico obtemos o espaço euclidiano n-dimensional. De modo mais geral, podemos estudar a geometria de um espaço vetorial V munido de uma forma bilinear B. Mas para isso, é necessário que essa forma bilinear tenha algumas propriedades, de modo que a geometria obtida seja de fato uma generalização do que conhecemos. Uma característica que queremos preservar é o fato de que um produto interno é não degenerado, ou seja, se

Prêmios