Gerson Cruz Araújo

Pós-doutorado

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Orientou

Produções bibliográficas

• ANDRADE, Keity Murielly de Jesus ; ARAÚJO, G. C. ; DE MENEZES NETO, JOSÉ LAUDELINO . PARAMETRIC STABILITY OF A CHARGED PENDULUM WITH AN OSCILLATING SUSPENSION POINT LOCATED ABOVE TWO ELECTRIC CHARGES OF THE SAME INTENSITY AND SIGN, EQUALLY DISTANT FROM THE SUSPENSION POINT.. REGULAR & CHAOTIC DYNAMICS , v. 30, p. 1-18, 2025.

• ARAÚJO, GERSON CRUZ ; NETO, JOSÉ LAUDELINO DE MENEZES ; Sierpe, Claudio ; VIDAL, CLAUDIO . Nonlinear stability of the normal equilibrium point in a charged pendulum between two charged wires. Journal of Dynamics and Differential Equations , v. 37, p. 1-18, 2025.

• ANDRADE, Keity Murielly de Jesus ; ARAÚJO, G. C. . ESTABILIDADE PARAMÉTRICA DE UM PÊNDULO CARREGADO COM PONTO DE SUSPENSÃO OSCILANTE ENTRE DUAS RETAS HORIZONTAIS COM DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE CARGAS ELÉTRICAS. REVISTA SERGIPANA DE MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA , v. 9, p. 1-26, 2024.

• NASCIMENTO, CLÉSIO CARLOS SOUZA ; ARAÚJO, GERSON CRUZ ; DOS SANTOS FILHO, ORTENILTON . Estudo analítico do problema restrito dos três corpos. STUDIES IN ENGINEERING AND EXACT SCIENCES , v. 4, p. 171-182, 2023.

• ARAUJO, GERSON CRUZ ; RAMOS, FILIPE VIEIRA . Um breve ensaio sobre a história da Mecânica Celeste. STUDIES IN ENGINEERING AND EXACT SCIENCES , v. 4, p. 154-170, 2023.

• CARVALHO, A. C. ; ARAÚJO, G. C. . Parametric Resonance of a Charged Pendulum with a Suspension Point Oscillating Between Two Vertical Charged Lines. REGULAR & CHAOTIC DYNAMICS , v. 28, p. 321-331, 2023.

• MENEZES NETO, J. L. de ; ARAÚJO, G. C. ; ROTHEN, YOCELYN PÉREZ ; VIDAL, CLAUDIO . Parametric stability of a double pendulum with variable length and with its center of mass in an elliptic orbit. Journal of Geometric Mechanics , v. 14, p. 381-408, 2022.

• ARAUJO, GERSON CRUZ ; CABRAL, HILDEBERTO E. . Parametric Stability of a Charged Pendulum with an Oscillating Suspension Point. Regular and Chaotic Dynamics , v. 26, p. 39-60, 2021.

• ARAUJO, GERSON CRUZ . Linear stability in the restrictive problem of n-Bodies with a unitary central mass. APPLIED MATHEMATICS , v. 30, p. 1024-1043, 2017.

• ARAÚJO, G. C. ; CABRAL, H. E. . Parametric Stability in a P+2-Body Problem. Journal of Dynamics and Differential Equations , p. 719-742, 2017.

• ARAÚJO, G. C. ; ANDRADE, Keity Murielly de Jesus . Estabilidade linear de osciladores paramétricos via sistemas Hamiltonianos. 1. ed. São Paulo: LF EDITORA, 2025. v. 1. 142p .

• ARAÚJO, G. C. . Estudo Analítico da Estabilidade Linear do Problema Restrito dos Quatro Corpos. Capitalismo Contemporâneo e Políticas Educacionais. 5ed.Ponta Grossa: Atena, 2021, v. 5, p. 183-193.

• ARAÚJO, G. C. ; Nascimento, Clésio Carlos ; Filho, Ortenilton ; SODRE, E. S. . AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DO PÊNDULO ESFÉRICO POR MEIO DA MECÂNICA LAGRANGIANA. In: XXI Semana de Matemática: Matemática e suas conexões como Ensino Fundamental e Médio, 2021, Ji-Paraná. XXI Semana de Matemática: Matemática e suas conexões como Ensino Fundamental e Médio, 2021. v. 1. p. 126-134.

• ARAÚJO, G. C. ; Filho, Ortenilton ; Nascimento, Clésio Carlos . ESTUDO ANALÍTICO DO PROBLEMA RESTRITO DOS TRÊS CORPOS. In: XXI Semana de Matemática: Matemática e suas conexões como Ensino Fundamental e Médio, 2021, Ji-Paraná. XXI Semana de Matemática: Matemática e suas conexões como Ensino Fundamental e Médio. v. 1. p. 135-143.

• ARAÚJO, G. C. ; Silva, Maria Modesto . UM CONVITE A TEORIA DE SEMIGRUPO: O TEOREMA DE HILLE-YOSIDA. In: XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020, Ji-Paraná. XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020. v. 1. p. 322-331.

• ARAÚJO, G. C. ; SOUZA, M. D. . Problema Carregado dos N corpos. In: XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020, Ji-Paraná. XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020. v. 1. p. 332-341.

• ARAÚJO, G. C. ; Nascimento, Clésio Carlos . ESTUDO ANALÍTICO DA ESTABILIDADE LINEAR DO PROBLEMA RESTRITO DOS QUATRO CORPOS. In: XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020, Ji-Paraná. XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020. v. 1. p. 310-321.

• ARAÚJO, G. C. ; Filho, Ortenilton . ESTABILIDADE LINEAR DO PÊNDULO DE GALILEU. In: XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020, Ji-Paraná. XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020. v. 1. p. 298-309.

• ARAÚJO, G. C. ; SOUZA, M. D. ; Filho, Ortenilton ; SANTOS, J. G. . ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIO DO SISTEMA MASSA-MOLA SIMPLES. In: XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020, Ji-Paraná. XX Semana de Matemática: A Matemática e algumas de suas ramificações: Matemática Pura, Matemática Aplicada e Educação Matemática. Tudo junto e Misturado?, 2020. v. 1. p. 288-297.

• ARAÚJO, G. C. . Estabilidade Paramétrica no Problema de P+2 corpos. In: 30° Colóquio brasileiro de Matemática, 2015, Rio de Janeiro. 30° coloquio Brasileiro de Matemática, 2015.

• ARAÚJO, G. C. ; CABRAL, H. E. . Estabilidade em um problema Restrito dos Oito Corpos. In: Congresso Brasileiro de Dinâmica Orbital, 2014, Águas de Lindóia. XVII Cogresso Brasileiro de Dinâmica Orbital, 2014.

• ARAÚJO, G. C. . Problemas Mistos Dirichlet-Neumann para um Classe de Equações Hiperbólica-Parabólicas não lineares. A Equação de Laplace e o Problema de Dirichlet. In: XIII Encontro de Iniciação Científica da UEPB, 2006, Campina Grande. Encontro de Iniciação Científica da UEPB. Campina Grande: Editora da universidade Estadual da Paraíba, 2006. v. 1. p. 31-31.

• ARAÚJO, G. C. ; Keity Murielly . Linear stability and parametric resonance of a charged pendulum with an oscillating suspension point.. 2023. (Apresentação de Trabalho/Simpósio).

• ARAÚJO, G. C. ; Keity Murielly . Estabilidade linear e paramétrica de um pêndulo carregado com ponto suspenso oscilante entre retas horizontais eletrizadas. 2023. (Apresentação de Trabalho/Simpósio).

• ARAÚJO, G. C. . ESTUDO ANALÍTICO DO PROBLEMA RESTRITO DOS TRÊS CORPOS. 2021. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. . AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DO PÊNDULO ESFÉRICO POR MEIO DA MECÂNICA LAGRANGIANA. 2021. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. ; FREIRE, A. S. . Princípios Sobre a Teoria das Equações Funcionais via Aplicações e uma Proposta de Intervenção no Ensino Básico. 2021. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. ; Filho, Ortenilton ; SANTOS, J. G. ; SOUZA, M. D. . ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIO DO SISTEMA MASSA-MOLA SIMPLES. 2020. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. ; Filho, Ortenilton . ESTABILIDADE LINEAR DO PÊNDULO DE GALILEU. 2020. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. ; Nascimento, Clésio Carlos . ESTUDO ANALÍTICO DA ESTABILIDADE LINEAR DO PROBLEMA RESTRITO DOS QUATRO CORPOS. 2020. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. ; Silva, Maria Modesto . UM CONVITE A TEORIA DE SEMIGRUPO: O TEOREMA DE HILLE-YOSIDA. 2020. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. . Estabilidade Paramétrica em um problema restrito dos p+2 Corpos. 2015. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. ; CABRAL, H. E. . Estabilidade em um Problema Restrito dos Oito Corpos. 2014. (Apresentação de Trabalho/Congresso).

• ARAÚJO, G. C. . Problemas Mistos Dirichlet-Neumann para um Classe de Equações Hiperbólica-Parabólicas não lineares. A Equação de Laplace e o Problema de Dirichlet. 2006. (Apresentação de Trabalho/Outra).

• ARAÚJO, G. C. . Problemas Mistos de Dirichlet-Neumann para uma Classe de Equações Hiperbólica-Parabólicas Não Lineares. A Equação de Laplace e o Problema de Dirichle. 2006. (Apresentação de Trabalho/Outra).

Outras produções

Projetos de pesquisa

• 2025 - Atual

  Introdução à Teoria dos Semigrupos e Aplicações às Equações Diferenciais Parciais, Descrição: Uma pesquisa introdutória sobre as disciplinas Análise Real e Análise Funcional nos torna preparados(as) a entender com mais afinco os trabalhos que tratam de inúmeras Equações Diferenciais Parciais (EDP's) e que foram publicados em periódicos matemáticos de alta circulação nacional e internacional. Mais precisamente, estes cursos nos dão oportunidade de compreender melhor os tópicos abordados em Álgebra Linear e Cálculo; mais especificamente, os(as) estudantes cadastrados(as) neste projeto de iniciação científica poderão estar envolvidos(as) em estudos que discorrem sobre os Espaços de Banach e Hilbert, por exemplo.Este trabalho é relevante para uma consequente pesquisa em Equações Diferenciais Parciais, já que estas são parte da teoria que servem como aplicação dos conteúdos de Análise Funcional como, por exemplo, quando pretendemos determinar soluções para algumas Equações Diferenciais Parciais Elípticas, através da utilização do Teorema de Lax-Milgram, ou algumas Equações Diferenciais Parciais Parabólicas, pelo uso do Teorema do Ponto Fixo de Banach. Deste modo, estamos focados, inicialmente, em estudar (ou relembrar) algumas definições e resultados inerentes às disciplinas Análise Real e Análise Funcional, com o objetivo de aprimorar nossos entendimentos sobre a teoria de Semigrupos de Operadores Lineares e, com a meta de expormos mais clareza, trabalharemos com estas famílias para poder aplicar as informações estudadas em algumas Equações Diferenciais Parciais.Vale ressaltar que, estudar os conceitos e os resultados mais importantes apresentados nos cursos de Análise Real e Análise Funcional é imprescindível para uma pesquisa mais bem elaborada em Equações Diferenciais Parciais. Este argumento pode ser inferido, por exemplo, na busca de uma solução para determinadas equações em alguns espaços específicos, tais como: Espaços de Lebesgue e Sobolev. Em adição, este projeto de pesquisa é também justificado pelo alto índice de publicações de trabalhos (de circulação nacional e internacional) que estudam tais sistemas.É importante enfatizar que, entre os conceitos e resultados mais relevantes que serão discutidos nesta pesquisa estão os seguintes: Supremo, Ínfimo, Sequências, Topologia, Limites de Funções, Continuidade, Derivação, Integração, Espaços de Banach, Espaços de Hilbert, Operadores Lineares Limitados, Teoremas do Gráfico Fechado e da Aplicação Aberta, Topologia Fraca, Semigrupos Uniformemente Contínuos e Semigrupos Fortemente Contínuos. Sendo assim, este projeto aprimorará o aprendizado estabelecido na graduação; como também, dará prosseguimento a algumas ideias primordiais ao desenvolvimento de uma carreira acadêmica sólida em Análise Matemática.Por fim, vale lembrar que os(as) estudantes(as) cadastrados(as) neste projeto de pesquisa devem comprovar, como pré-requisito, a aprovação nas disciplinas Álgebra Linear e Análise na Reta (ou Análise I). Estas exigências são requeridas, pois os cronogramas cadastrados nos planos de trabalho só podem ser cumpridos com o conhecimento dos estudos determinados nestes cursos. Além disso, é relevante destacar também que utilizaremos alguns resultados que foram obtidos em outros projetos de iniciação científica.. , Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (1) / Mestrado acadêmico: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante.

• 2025 - Atual

  Aspectos gerais da Álgebra Simplética com aplicação em fenômenos da mecânica geométrica., Descrição: Aspectos gerais da Álgebra Simplética com aplicação em fenômenos da mecânica geométrica.. , Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) / Mestrado acadêmico: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Keity Murielly - Integrante.

• 2024 - 2025

  Um breve ensaio sobre geometria diferencial com algumas aplicações ., Descrição: Projetos de iniciação científica em Matemática visam promover a cultura científica e tecnológica de estudantes de graduação, bem como desenvolver a curiosidade por questões científicas. A principal proposta deste projeto é fazer um estudo introdutório de Geometrias não Euclidianas. Mais especificamente, abordar tópicos da Geometria Diferencial e guiçá da geometria esférica. Com isso, os alunos participantes terão alguma ideia do que se trabalha na área de Geometria. É importante destacar que a área de Geometria Diferencial é o estudo de variedades utilizando ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral.Começaremos por estudar os pré-requisitos e assuntos que não são abordados nos cursos de graduação, como por exemplo, superfícies, geodésicas, curvatura e também consequências matemáticas desta teoria. Um ponto a salientar visa propor no mínimo de forma intuitiva a importância do estudo da Geometria Esférica que se faz muito necessário atualmente em função da disseminação de ideias terra-planistas. Estudar a esfera em seu aspecto global traz o discernimento das diferenças quando olhamos a esfera de forma local e para o todo. Como a entrada dos alunos do curso de Matemática e área afins é de forma contínua, necessitamos sempre, divulgar a geometria diferencial e investir na formação de recursos humanos.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) / Mestrado acadêmico: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / ANDRADE, Keity Murielly de Jesus - Integrante.

• 2024 - 2025

  Estudo das Equações de Navier-Stokes pelo Ponto de Vista de Jean Leray, Descrição: Para realizar o estudo das Equações de Navier-Stokes se faz necessário estabelecer caminhos pelos quais nos façam chegar a compreender a teoria matemática que é desenvolvida nesse sistema. Destaquemos aqui quais são os objetivos do trabalho em questão.- Estudar alguns tópicos provenientes do curso de Medida e Integração de Lebesgue;- Estudar alguns tópicos provenientes do curso de Análise Funcional;- Estudar o artigo de Jean Leray sobre Equações de Navier-Stokes;- Capacitar o(a) aluno(a) envolvido(a) neste projeto a um melhor entendimento da linguagem matemática utilizada nos cursos de Análise;- Qualificar o(a) aluno(a) para continuar seus estudos futuros em cursos de pós-graduação, visando dar continuidade as suas pesquisas iniciais e sua formação acadêmica de alto nível;- Dar prosseguimento aos conceitos estudados em cursos introdutórios de Álgebra Linear, Cálculo e Análise Real (disciplinas ofertadas em Licenciatura e Bacharelado em Matemática). Como uma consequência imediata, os(as) alunos(as) envolvidos(as) neste projeto experimentarão um dos processos pertinentes à pesquisa científica em Matemática: aplicar os conhecimentos obtidos em cursos elementares em temas mais gerais;- Estabelecer alguns pré-requisitos necessários para que o(a) aluno(a) de graduação em Matemática, envolvido neste projeto, possa estar apto a se candidatar a uma vaga em um Mestrado Acadêmico em ciências exatas, quando for o momento oportuno.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Integrante / Wilberclay Gonçalves de Melo - Coordenador.

• 2024 - Atual

  PARAMETRIC STABILITY OF A CHARGED PENDULUM WITH AN OSCILLATING SUSPENSION POINT LOCATED ABOVE TWO ELECTRIC CHARGES OF THE SAME INTENSITY AND SIGN, EQUALLY DISTANT FROM THE SUSPENSION POINT., Descrição: In this study, we analyze a plane mathematical pendulum with a suspension pointthat oscillates vertically, governed by a harmonic law. The pendulum bulb is electri-cally charged and is located slightly above two electric charges of the same sign andintensity, equidistant from the suspension point and distant from each other, with value2d, where d is the distance of each charge in relation to the orthogonal projection ofthe pendulums suspension point on the line containing the charges. We determine theHamiltonian formalism of this mechanical phenomenon, find two equilibrium pointsand analyze the linear stability of this system. This dynamic system has three dimen-sionless parameters, namely, related to the electric charges, the parameter #949; referringto the amplitude of the suspension point and #945;, resulting from the frequency of thesystem. Thus, we investigate the parametric stability of the equilibrium points, finally,we display the surfaces that separate the regions of stability and instability in the pa-rameter space, and for specific cases of , we find cross sections, which are curves, thatdelimit the regions of stability and instability, with the theory obtained from the Krein- Gelfand-Lindskii theorem and the Deprit-Hori method.. , Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Mestrado acadêmico: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Jose Laudelino de Menezes Neto - Integrante / ANDRADE, Keity Murielly de Jesus - Integrante.

• 2024 - Atual

  Soluções periódicas via funções de Melnikov para o estudo de um pêndulo com ponto de suspensão oscilante, Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Doutorado: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Hildeberto Eulalio Cabral - Integrante / DANIELLE APARECIDA DA SILVA OLIVEIRA - Integrante.

• 2023 - 2024

  Sistemas de equações diferencias aplicados em modelos epidemiológicos, Descrição: As equações diferenciais foram introduzidas primeiramente por estudos do cálculo porFermat (1601-1665), Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716). Os primeiros entendimentossobre derivadas foram surgindo, porém, suas soluções não eram fáceis de serem encontradas. Somente com Jakob Bernoulli (1654-1705) (EVES, 2004), que desenvolveu o métodode separação de variáveis, e o qual mais tarde foi generalizado por Leibniz, a Integral e oTeorema fundamental do Cálculo foram de alguma ajuda e, ainda sim, somente em casos muitoespecíficos.No início do século XVII, as equações diferenciais começaram a ser aplicadas emproblemas de astronomia e ciências físicas, estudadas por Bernoulli, que criou equações para osmovimentos planetários com os princípios de gravidade feitos previamente por Newton.No século XVIII, muito conhecimento sobre as técnicas de análise e solução haviam sidoacumulados, porém, ainda existiam muitas equações que aparentemente não tinham soluçõespossíveis, isto é, até a chegada de Leonhard Euler (1707-1783), que demonstrou que utilizandoa teoria das funções, poderia se chegar a compreensão das equações diferenciais.Devido aos esforços e pesquisas destes estudiosos pôde-se elevar o conhecimentosobre as equações diferenciais, os quais resultaram em inúmeras aplicações e soluções paradiversos problemas nas mais diferentes áreas. Por ser um campo da matemática que proporcionavárias aplicações, favorecendo modelar diversas situações, como o estudo do crescimento populacional, as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) são muito importantes para a modelagemmatemática, em destaque para a epidemiologia matemática, já que, por meio dessas equações épossível descrever o comportamento do contágio de doenças e, pensar assim no mais importante:medidas para conter a disseminação entre a população. No entanto, deve-se ressaltar que paraa modelagem ser bem-sucedida, deve primeiro entender os aspectos biológicos em questão(KERMACK; MCKENDRICK, 1932).Neste contexto, pensando em aplicações para as equações diferenciais e vivenciandouma pandemia de COVID-19, decidiu-se estudar a modelagem necessária para obter maiorinformação e precisão sobre o desenvolvimento e contágio da doença nas comunidades, região epaís, e assim analisar as medidas de controle, como vacinação ou outras medidas de contençãonecessárias para erradicar a doença.Assim, o presente trabalho tem como tema, um estudo sobre equações diferenciaisordinárias e sua aplicação na epidemiologia matemática usando para entender como as doençasse comportam em certos modelos. Desta maneira, o trabalho apresenta um estudo dos modelos matemáticos epidemiológicos, visando a análise de soluções analíticas e numéricas dosmodelos: Suscetível- Infectado (SI), Suscetível-Infectado-Suscetível (SIS) e Suscetível-Infectado Recuperado (SIR); SIS com cálculo fracionário.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador.

• 2023 - 2024

  Dinâmica Linear nos problemas Clássicos da Mecânica Celeste, Descrição: Neste projeto acadêmico, direcionado ao ambiente clássico da Mecânica Celeste, através de problemas com fortes impactos na área, objetivamos compreender determinados métodos canônicos relacionados à teoria que possibilite aos eventuais participantes, lidarem com as principais ferramentas advindas de componentes curriculares cruciais, a saber, Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias, Geometria Diferencial, Análise Matemática, ferramenta de modelagem matemática proveniente de problemas físicos. Com este arsenal de informações os participantes terão acesso a diversas subáreas da matemática, algo imprescindível para a sua continuidade no seu ingresso em um curso de pós graduação. Em suma, pretende-se:- Generalizar conceitos de Sistemas Dinâmicos e Mecânica Celeste, estudados nosCursos de Equações Diferenciais Ordinárias, Tópicos de Equações Diferenciais Ordinárias,Mecânica Clássica I, Mecânica Clássica II, para conceitos mais amplos, que preparam oaluno para o início à pesquisa;- Fazer o aluno trabalhar com ferramentas pouco trabalhadas nos cursos de graduaçãoem Matemática na Universidade Federal de Sergipe, fazendo com que o mesmo, consigaobter maturidade em conceitos clássicos no estudo científico.- Promover a interdisciplinaridade com outras áreas para que tal aluno tenha um amploconhecimento de diversas áreas de pesquisa.- Alcançarmos os pré-requisitos necessários para que os alunos, envolvidos neste projeto,possam ingressar de maneira regular em um mestrado acadêmico em Matemática.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador.

• 2023 - Atual

  Nonlinear stability of a charged pendulum between two charged wires, Descrição: The analysis of the behavior of pendulums attracted the attention of scientists among the years, some of them studying a pendulum with movable suspension point and even the caseof charged pendulums.In this paper, we dedicate our investigation on the problem in, a planar pendulum withharmonic vertical oscillation in the point of suspension, with a charge in its bulb, and between twoinfinite vertical wires.The structure of this work is as follows. We describe the problem in details, showingits equation of motion. We discuss about the Hamiltonian function of the problem. we show a method on how to normalize the quadratic part of the Hamiltonian functionfor a small parameter, called #949;. Finally, we discuss the method to normalize the terms of fourthorder and about the nonlinear stability, in the nonresonant case, for small values of parameter #949;.. , Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / DE MENEZES NETO, JOSÉ LAUDELINO - Integrante / José Claudio Vidal Diaz - Integrante / Claudio Sierpe - Integrante.

• 2021 - 2022

  Premissas sobre osciladores paramétricos via sistemas Hamiltonianos, Descrição: Uma oscilação paramétrica é caracterizada quando a ação de uma força externasobre o oscilador harmônico resulta em uma variação temporal dos parâmetros do sistema(LANDAU; LIFCHITZ, 2004). Por exemplo, no pêndulo simples, quando aplicamosuma força que varia o comprimento periodicamente, estamos provocando oscilações paramétricasno sistema. Esse tipo de oscilação encontra-se também em circuitos elétricosinvestigados por Mandelstam e Papalexi (1934).Diferente dos osciladores harmônicos, a equação de movimento dos sistemas paramétricosé formada por equações diferenciais com coeficientes variando no tempo, emgeral, de forma periódica (NAYFEH; MOOK, 1995). Na maioria dos fenômenos, temosequações não lineares. Contudo, em alguns casos, podemos linearizar essas equaçõestornando-as mais simples, como é o caso da equação de Hill ou Mathieu.Antes de explorar propriamente as oscilações paramétricas,inicia-se uma revisão dos principais tipos de osciladores harmônicos estudados na literatura.Os sistemas Hamiltonianos formam uma subclasse dos sistemas dinâmicos conservativose, apesar dessa restrição, a formulação hamiltoniana constitui uma base para diversosmétodos matemáticos utilizados na matemática e na física. Tal formalismo encontra váriasaplicações importantes, não somente na mecânica clássica, mas também em eletromagnetismo,e é o ponto de partida da mecânica quântica e da mecânica estatística.A teoria de sistemas Hamiltonianos teve início após a formulaçaao da mecânica clássicasegundo Hamilton. Lagrange já havia libertado a mecânica clássica Newtoniana daexigência de um sistema de coordenadas inercial e Hamilton adaptou essa ideia passandoa usar um espaço $2n$ dimensional. Iniciou-se então o desenvolvimento do formalismo matemático necessário para dar suporte à teoria física, fazendo nascer a geometria simplética,hoje trabalhada independente de motivações físicas.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante.

• 2021 - 2022

  Teoria da estabilidade paramétrica em sistemas Hamiltonianos com aplicações em problemas carregados de osciladores paramétricos em pêndulos matemáticos, Descrição: Nesta projeto estamos analisando a teoria acerca da estabilidade paramétrica em sistemas Hamiltonianos lineares , mais especificamente, sistemas Hamiltonianos com um e dois grau de liberdade. Para tanto, estamos estudando resultados gerais sobre sistemas Hamiltonianos, espaços vetoriais simpléticos e estabilidade de pontos de equilíbrios de sistemas Hamiltonianos lineares periódicos. Posteriormente, analisamos a estabilidade paramétrica de sistemas Hamiltonianos lineares, o conceito de ressonâncias paramétricas e juntamente com o auxílio do método de Deprit Hori,construímos as curvas que delimitam as regiões de estabilidade e instabilidade no plano dos parâmetros para a clássica equação de Mathieu. Este texto é finalizado com a descrição e estudo do artigo Parametric stability of a charged pendulum with oscillating suspension point desenvolvido pelos pesquisadores Hildeberto Eulalio Cabral, Adecarlos Carvalho e Gerson Cruz Araujo, no qual concebemos a construção das superfícies que limitam as regiões de estabilidade e instabilidade no espaço dos parâmetros.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Mestrado acadêmico: (1) Doutorado: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Hildeberto Eulalio Cabral - Integrante / DE MENEZES NETO, JOSÉ LAUDELINO - Integrante / José Claudio Vidal Diaz - Integrante / KARINE DE ALMEIDA SANTOS - Integrante / Adecarlos Carvalho - Integrante / Yocelin Perez - Integrante.

• 2021 - 2022

  Sistemas bidimensionais não lineares; teoria e aplicações, Descrição: A Teoria das Equações Diferenciais surgiu com Isaac Newton (1642-1727) que buscava justificar alguns fenômenos físicos.Mais tarde, verificou-se sua aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento, tais como: engenharia, biologia, medicina, economia, história, artes, esportes, entre outras...Na Matemática, ambiente natural de desenvolvimento da Teoria das Equações Diferenciais, também há aplicações nas mais diversas áreas.Desde geometria diferencial, passando pelas mecânicas clássica e celeste, e chegando à análise, as equações diferenciais assumem um papel (quase sempre) de protagonismo.Ademais, a Teoria das Equações Diferenciais é por si só um campo ainda frutífero de pesquisa, tornando esta uma área ainda em desenvolvimento por matemáticos de todo o mundo.Nesse projeto, estamos interessados no estudo dos sistemas bidimensionais.Como se sabe, a teoria de tais sistemas, no caso linear ordinário, já possui todo seu conhecimento estabelecido.Contudo, o ambiente dos sistemas não lineares é ainda um tanto obscuro e possui uma gama de aplicações considerável.Nossa proposta é, a partir de uma revisão da literatura, buscar aplicações (modelos) tanto na Matemática como fora dela, fazer um levantamento dos problemas ainda não resolvidos de tal área, elaborar novos questionamentos e apontar soluções para estes.Os cursos de graduação que tratam das equações diferenciais são, em sua grande maioria, dedicados às questões quantitativas e dedicam-se apenas ao estudo dos sistemas lineares. Entretanto, esse é apenas um primeiro passo rumo a um enorme campo de pesquisa. Com esse projeto, os alunos envolvidos terão a oportunidade de se deparar com questões que norteiam a pesquisa em matemática, podendo assim vislumbrar o que há na sequência da graduação.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Integrante / Lucas Rezende Valeriano - Coordenador.

• 2021 - 2022

  Princípios da Teoria das Oscilações Paramétricas via Formalismo Lagrangeano e Hamiltoniano., Descrição: A teoria das oscilações paramétricas são frequentemente estudadas nos cursos introdutórios de Mecânica Clássica, Mecânica Celeste, Mecânica Quântica, devido sua relevânciae aplicabilidade em praticamente todas as áreas do conhecimento das ciências da natureza,principalmente em Física, Química, Astronomia, Economia, onde em geral vê-se váriosfenômenos naturais e sociais em um contexto onde soluções das situações estudadas sãoperiódicas com relação ao parâmetro temporal. Antes de explorar propriamente as oscilações paramétricas, propomos no projeto umarevisão dos principais tipos de osciladores harmônicos estudados na literatura. São abordados os osciladores harmônicos livres, amortecidos e forçados, deduzindo as equações domovimento e enfatizando suas características principais. Essa revisão é importante parase fazer uma comparação com as Oscilações Paramétricas que almejamos analisar. Finalmente, na parte nal do projeto, transformaremos as equações do movimento dosmodelos propostos em equações mais simples através de aplicações canônicas, culminandotodos os casos na conhecida Equação de Mathieu. Com estas informações, adquiri-se acapacidade de encontrar de maneira mais simplória os pontos de equilíbrios dos problemas,descrever os sistemas Hamiltonianos não lineares de cada problema e como linearizá-lo emtorno dos pontos de equilíbrios. faremos o estudo da normalização do sistema e por m,usando o método de Deprit Hori, pretendemos construir curvas fronteiras de estabilidadee instabilidade que emanam de pontos onde existem ressonâncias de Krein. Esses quesitosserão abordados ao longo do desenvolvimento do projeto.Como descrito ao longo do texto, observa-se a relevância destes estudos que apesarde antigos, possui diversas variações e hoje há variações que estão sendo estudados porpesquisadores relevantes na área, pois são problemas advindos de fenômenos naturais,mas com extrema importância para o desenvolvimento científico e humano, com alto teorde interdisciplinar e conhecimento em áreas da ciência da natureza como, engenharia,física, química e dentro da matemática, conhecimento de Geometria analítica, geometriadiferencial, álgebra linear, Análise, equações diferenciais.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (10) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Alexandre Fonseca de Sousa - Integrante / Anne Beatriz Dias Vieira - Integrante / Ediclark Dias Alves - Integrante / Emmily Thais Almeida - Integrante / Júlia Pereira dos Santos - Integrante / Lucas Rafael Leite Oliveira - Integrante / Nívea Vitoria da Silva Almeida - Integrante / Rafaela Santos Coelho Pedreira - Integrante / William Brayon Cardoso Santana Santos - Integrante / Wilson Gustavo Oliveira dos Santos Almeida - Integrante.

• 2020 - 2021

  PÊNDULOS PARAMÉTRICOS: PONTO DE SUSPENSÃO OSCILANTE E COMPRIMENTO VARIÁVEL, Descrição: As oscilações harmônicas são bastante estudadas nos cursos introdutórios de Mecânica Celeste, devido sua importância e aplicabilidade em praticamente todas as áreas, principalmente em Física, Química, onde em geral vê-se vários problemas em um contexto com soluções periódicas. O pêndulo simples é o sistema ideal normalmente utilizado para explorar as oscilações amortecidas, forçadas, acopladas, entre outras. Contudo existe um outro tipo de oscilação, dificilmente abordadas em livros-texto da graduação, que são as chamadas oscilações paramétricas. Este projeto tem como objetivo estudar e divulgar essa classe de oscilações. Uma oscilação paramétrica é caracterizada quando a ação de uma força externa sobre o oscilador harmônico resulta em uma variação temporal dos parâmetros do sistema. Por exemplo, no pêndulo simples, quando aplicamos uma força que varia o comprimento periodicamente, estamos provocando oscilações paramétricas no sistema. Esse tipo de oscilação encontra-se também em circuitos elétricos investigados por Mandelstam, Papalexi, Smale entre outros. Diferente dos osciladores harmônicos, a equação de movimento dos sistemas paramétricos é formada por equações diferenciais com coeficientes variando no tempo, em geral, de forma periódica. Na maioria dos fenômenos, temos equações não lineares. Contudo, em alguns casos, podemos linearizar essas equações tornando-as mais simples, como é o caso da equação de Hill ou Mathieu. Antes de explorar propriamente as oscilações paramétricas, propomos no projeto uma revisão dos principais tipos de osciladores harmônicos estudados na literatura. São abordados os osciladores harmônicos livres, amortecidos e forçados, deduzindo as equações de movimento e enfatizando suas características principais. Essa revisão é importante para se fazer uma comparação com as oscilações paramétricas. Posteriormente, definiremos e mostraremos diversos exemplos de osciladores paramétricos. Em seguida, são escolhidos três problemas principais: pêndulo com comprimento variável, pêndulo com ponto de suspensão oscilante e por fim, um pendulo com o bulbo carregado eletricamente nos casos onde o comprimento será variável e o ponto de suspensão será Variável. Utilizaremos o formalismo lagrangeano e o estudo geométrico para deduzir a equação de movimento desses três sistemas. Para o estudo da estabilidade paramétrica destes sistemas enfatizaremos no entendimento da equação diferencial de Mathieu. Sua formação será deduzida a partir da equação de Helmholtz em coordenadas elípticas. Mostraremos, utilizando uma mudança de variáveis, que a forma algébrica de Mathieu é um caso particular da equação de Heun. Apresentaremos o estudo de sua estabilidade pelo Teorema de Floquet e suas principais propriedades. Finalmente, na parte final do projeto, transformaremos as equações de movimento dos três pêndulos paramétricos em uma equação de Mathieu. salientando que o pêndulo com cargas será uma variação da equação de Mathiel. Com estas informações, encontrremos os pontos de equilíbrios dos problemas, descreveremos os sistemas Hamiltonianos não lineares de cada problema e como linearizá-lo em torno dos pontos de equilíbrios. faremos o estudo da normalização do sistema e por fim, usando o método de Deprit Hori, pretendemos construir curvas fronteiras de estabilidade e instabilidade que emanam de pontos onde existem ressonâncias de Krein. Esses quesitos serão abordados ao longo do desenvolvimento do projeto. Como descrito ao longo do texto, observa-se a relevância destes estudos que apesar de antigos, possui diversas variações e hoje há variações que estão sendo estudados por pesquisadores relevantes na área, pois são problemas advindos de fenômenos naturais, mas com extrema importância para o desenvolvimento científico e humano, com alto teor de interdiciplinaridade e conhecimento em áreas como, engenharia, física, química.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (4) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Ortenilton Filho - Integrante / Clésio Carlos Nascimento - Integrante / Otávio Marcos martins dos Santos - Integrante / Antônio Carlos Bruno de Andrade - Integrante.

• 2020 - 2021

  Um Estudo Introdutório das Funções Gama e Beta, Descrição: As Funções Gama e Beta apresentam uma alto grau de aplicabilidade em temas extremamente relevantes para as ciências exatas como, por exemplo, Teoria da Probabilidade, Combinatória, Estatística, Mecânica Quântica, Física Nuclear e Teoria das Cordas. Deste modo, nosso interesse é, primeiramente, revisar alguns conceitos e resultados inerentes ao curso de Análise na Reta com o objetivo de desenvolver uma teoria introdutória sobre as Funções Gama e Beta. Mais precisamente, pretendemos demonstrar as propriedades básicas destas aplicações considerando como ferramenta primordial a Integral Imprópria de Riemann. É também um fato que o estudo sobre as Funções Gama e Beta nos possibilitam entender com mais afinco os tópicos estabelecidos em disciplinas tais como: Cálculo, Análise em IR, Análise no IR^n e Variáveis Complexas. Mais especificamente, o estudante cadastrado nos planos de trabalho deste projeto de iniciação científica será capaz de discutir temas mais gerais envolvendo, por exemplo, fatorização. Entre os conceitos mais relevantes nesse projeto de pesquisa estão: Topologia em IR, Derivação em IR, Integração em IR, Integração Imprópria em IR, Função Gama, Derivadas da Função Gama, Teorema de Bohr-Mullerup, Função Beta, Integrais e Produtos de Wallis, Forma Produto de Weierstrass para a Função Gama, Fórmula de Reflexão de Euler, Funções Bi-gama e Poli-gama, Integrais de Euler-Mascheroni e Fórmula de Multiplicação de Gauss. Permita-nos salientar que, esses temas generalizam, por exemplo, o fatorial de um número natural, o qual é estudado em cursos elementares de Matemática. Além disso, a Função Gama é definida através de uma integral imprópria; sendo assim, esta pesquisa reforçará os aprendizados obtidos nos ensinos básicos e superior; além disso, dará continuidade a algumas ideias imprescindíveis ao prosseguimento de uma carreira acadêmica em Análise Matemática. Para ser mais conciso, uma introdução às Funções Gama e Beta é de extrema relevância para o estudo de alguns artigos em Equações de Navier-Stokes, da Magneto-hidrodinâmica e Micropolares publicados na literatura recente. Esta afirmação pode ser observada, por exemplo, na busca de uma solução para essas equações em espaços de Sobolev-Gevrey, Lei-Lin e Lei-Lin-Gevrey. Sendo assim, esta pesquisa é justificada devido ao grande índice de circulação de artigos (em âmbito nacional e internacional) que discorrem sobre a possibilidade da explosão de solução em tempo finito (este é considerado pelo Instituto Clay como um problema do milênio) para as Equações de Navier-Stokes 3D, com relação a algumas normas nesses mesmos espaços.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante.

• 2020 - 2021

  As nuances da Teoria Hamiltoniana no Plano, Descrição: O interesse e curiosidade a respeito dos fenômenos celestes remonta aos primórdios da humanidade, o que explica ser a Astronomia a ciência mais antiga. A Mecânica Celeste e a teoria Hamiltoniano, por outro lado, é uma área de pesquisa bem mais recente. Concebida como o ramo da Astronomia que estuda a dinâmica dos corpos sob interação gravitacional, ela teve seus fundamentos estabelecidos no século XVII. Sua origem, porém, e bem mais antiga e esta ligada as observações e registros das posições dos astros em seu deslocamento diário na linha celeste, as chamadas efemerides. As civilizações da antiguidade clássica, como os Babilônios, Egípcios e Gregos, tinham necessidade de descrever (e prever) os movimentos dos astros, visando principalmente a elaboração de calendários. Motivados por razões tanto religiosas quanto pratico-administrativas (e.g., organização estatal e agricultura), a confecção de tabelas do movimento diário dos corpos celestes foi um grande estímulo para o desenvolvimento da Astronomia. E um feito notável destas civilizações o de terem sido capazes de descobrir padrões de regularidade nos complexos movimentos dos astros a ponto de poderem prever eventos tanto espetaculares, como os eclipses, quanto sutis, como a precessão dos equinocios. Isso demonstra um grande avanço observacional e conceitual e podemos apenas especular o quanto contribuiu para formação da ideia de "lei natural". O ápice do conhecimento astronômico grego ocorre com a publicação do Almagesto (do árabe, "o grande livro") de Claudius Ptolomeu (cerca de 100 d.C.), que foi a referência na área por cerca de 1500 anos. Nesta extraordinária obra é desenvolvido o famoso método dos epiciclos no qual o movimento dos planetas, tendo a Terra como centro (modelo geocêntrico), e descrito através da composição de movimento circulares uniformes. Apesar de apresentar notável precisão, tratava-se de um modelo fundamentalmente descritivo e pouco explicativo. Além disso, utilizava muitas hipóteses sem fundamentação como, por exemplo, a noção da primazia do movimento circular uniforme, concebido como o único movimento "perfeito". A fase moderna da Mecânica Celeste, em que se estuda a dinâmica de sistemas de corpos massivos sob a ação de forças de atração gravitacional com o intuito de entender e explicar o movimento daqueles corpos, realmente teve início com a chamada síntese Newtoniana no seculo XVII. Seu marco é a publicação em 1687 dos Princípios de Isaac Newton, onde são formuladas as leis de movimento e se postula que estas leis são válidas tanto para corpos movendo-se num laboratório terrestre quanto nos confins do Universo. Pode-se também afirmar que esta síntese só foi possível com o desenvolvimento de uma nova ferramenta matemática: o calculo diferencial e integral. O trabalho de Newton e a culminação de intensas investigações científicas e de especulações filosóficas nos duzentos anos precedentes só foi possível devido a trabalhos de grande pensadores tais como Copérnico, Kepler, Brahe, Descartes e Galileu, entre muitos outros. Não se pode esquecer que muitas destas investigações foram estimuladas pelas necessidades e conquistas tecnologicas da época: cartografia, cronometria, instrumentação cientifica (e.g., relógios, telescópios) e problemas de navegação marítima (particularmente o famoso "problema da longitude"). Neste projeto, tem-se o propósito de estudar trajetórias geradas por sistemas hamiltonianos no plano. Para isso, são analisados os diversos tipos de retratos de fase dos sistemas lineares planares e a classificação destes. A teoria Hamiltoniana como falamos acima surgiram na mecânica clássica e seus pontos de equilíbrios são classificados em selas ou centros, conforme os sinais dos autovalores da matriz do sistema linearizado. Além disso, apresentamos a relação entre hamiltonianos e espaços vetoriais simpléticos e aplicações em Mecânica Celeste.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (4) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Lucas Rezende Valeriano - Integrante.

• 2019 - 2020

  Problema Restrito dos Quatro Corpos, Descrição: A Mecânica Celeste é uma das principais áreas da matemática e sem dúvida também uma das mais antigas. Hoje o estudo na área da mecânica celeste é tão amplo que atinge praticamente todos os ramos da matemática, aceitando quaisquer dos enfoques matemáticos (matemática pura e matemática aplicada). Em particular, as equações diferenciais ordinárias tem ainda um grande campo de estudo para os problemas de dinâmica. Alguns problemas específicos da mecânica celeste, por proporcionarem aos estudiosos do tema uma fartura teórica considerável, se eternizaram na área e recebem o nome de problemas clássicos, e.g., o problema dos dois corpos e o problema restrito dos três corpos. Mesmo antigos tais problemas, a exemplo das configurações centrais, ainda são fonte de muita pesquisa do mais alto nível. Problemas mais recentes como o problema do Equilíbrio relativo dos quatro corpos vêm sendo exaustivamente estudados por diversas pessoas em todos os continentes, trazendo um enorme benefício para diversas áreas da matemática, em especial para a mecânica celeste e sistemas dinâmicos.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Clésio Carlos Nascimento - Integrante.

• 2019 - 2020

  Estabilidade Linear em Problemas Clássicos da Mecânica Celeste., Descrição: Neste projeto acadêmico, direcionado ao ambiente clássico da Mecânica Celeste, através de problemas com fortes impactos na área, objetivamos compreender determinados métodos canônicos relacionados à teoria que possibilite aos eventuais participantes, lidarem com as principais ferramentas advindas de componentes curriculares cruciais, a saber, Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias, Geometria Diferencial, Análise Matemática, ferramenta de modelagem matemática proveniente de problemas físicos. Com este arsenal de informações os participantes terão acesso a diversas subáreas da matemática, algo imprescindível para a sua continuidade no seu ingresso em um curso de pós graduação. Em suma, pretende-se: - Generalizar conceitos de Sistemas Dinâmicos e Mecânica Celeste, estudados nos Cursos de Equações Diferenciais Ordinárias, Tópicos de Equações Diferenciais Ordinárias, Mecânica Clássica I, Mecânica Clássica II, para conceitos mais amplos, que preparam o aluno para o início à pesquisa; - Fazer o aluno trabalhar com ferramentas pouco trabalhadas nos cursos de graduação em Matemática na Universidade Federal de Sergipe, fazendo com que o mesmo, consiga obter maturidade em conceitos clássicos no estudo científico. - Promover a interdisciplinaridade com outras áreas para que tal aluno tenha um amplo conhecimento de diversas áreas de pesquisa. - Alcançarmos os pré-requisitos necessários para que os alunos, envolvidos neste projeto, possam ingressar de maneira regular em um mestrado acadêmico em Matemática.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (4) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Lucas Rezende Valeriano - Integrante.

• 2018 - 2019

  Estimativas a Priori, Existência e Unicidade de Soluções para as Equações de Burgers, Descrição: Um estudo sobre Medida e Integração, Espaços de Sobolev Reais e as Equações de Burgers nos torna aptos a compreender com mais precisão os artigos que discorrem sobre as famosas Equações de Navier-Stokes, e estão sendo publicados em revistas matemáticas de circulação nacional e internacional. Assim sendo, estamos interessados, primeiramente, em revisar cuidadosamente alguns conceitos adquiridos em Medida e Integração e Espaços de Sobolev em ordem a aprofundar nossos conhecimentos em Espaços de Lebesgue e de Sobolev Reais. Gostaríamos de enfatizar que estes, por sua vez, acrescentam ao aluno o entendimento do conceito de Derivada Fraca, importante para um futuro estudo de existência global de soluções fracas para as Equações de Navier-Stokes. É relevante frisar que entre os conceitos mais relevantes abordados nessa pesquisa estão: Conjuntos Mensuráveis; Funções Mensuráveis; Espaços de Medidas; Integrais de Lebesgue de Funções Reais; Teoremas da Convergência Monótona e da Convergência Dominada; Espaços de Lebesgue; Espaços de Sobolev Reais; Existência e Unicidade de Soluções Periódicas para as Equações de Burgers. Por fim, é também importante ressaltar que usaremos algumas teorias que foram estudadas em outros projetos de iniciação científica, orientados pelos coordenadores aqui cadastrados, com o intuito de darmos continuidade a estes mesmos projetos. Dessa forma, os alunos que desejem se candidatar a este sugerido trabalho devem apresentar um conhecimento introdutório de Análise Real e Funcional.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Caroline Pereira Santos - Integrante / Maynara Donato dos Souza - Integrante / Thyago Souza Rosa Santos - Integrante.

• 2018 - 2019

  Estabilidade no Problema Carregado dos n- Corpos, Descrição: O problema carregado de n-corpos diz respeito ao movimento de n partículas pontuais com massas positivas mj pertencenter aos reais positivos e uma carga eletrostática de qualquer sinal qj pertencente aos reais; movendo-se sob a influência da força gravitacional Newtoniana e da força eletrostática de Coulomb. Se todas as cargas forem nulas esse problema recai no problema clássico de n-corpos. Dessa forma, a estrutura Hamiltoniana nesses dois problemas é basicamente a mesma, o que os difere é o número de parâmetros, e a presença de mais parâmetros torna o problema carregado mais complicado que o problema clássico. Alguns tópicos básicos como configurações centrais (C.C.) e Equilíbrios Relativos ajudarão a entender o problema carregado. Sabe-se que, no problema clássico de n-corpos, se giramos uma C.C. em torno do seu centro de massa, obtemos uma solução especial a qual recebe o nome de equilíbrio relativo. A história dessa classe de soluções começa em 1767 com o trabalho de Euler no problema de 3-corpos, onde se encontra os equilíbrios relativos colineares. Anos depois, Lagrange encontrou uma nova classe de equilíbrios relativos formados por triângulos equiláteros. Quanto ao nome, equilíbrio relativo, esse se dá pelo fato de que quando o problema é escrito em coordenadas rotatórias, essas soluções especiais tornam-se pontos fixos. Neste projeto de Iniciação Científica, abordaremos a estabilidade linear de um equilíbrio relativo no problema carregado de n-corpos segundo o conceito de estabilidade espectral definida em trabalhos de Moeckel e baseado no trabalho de Perez-Chavela . O estudo desses equilíbrios será feito num sistema de coordenadas rotatórias e usaremos algumas ideias presentes em Moeckel para encontrar uma boa fatoração do polinômio característico da matriz relativa ao campo vetorial linearizado. Uma vez conhecidos os autovalores dessa matriz, estabeleceremos condições para a obtenção da Estabilidade Espectral do equilíbrio relativo, levando em conta que essa nova denifição de estabilidade implica na estabilidade linear já conhecida.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Isadora Inácio Pereira de Silva - Integrante.

• 2018 - 2019

  Uma Análise sobre os Principais Teoremas de Pontos Fixos, Descrição: Neste Projeto dde Iniciação Científica, estudaremos Teoremas sobre Pontos Fixos, a citar, Teorema do Ponto Fixo de Banach, Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, e os Teoremas dos Pontos Fixos de Schauder e Schaefer, e apresentamos algumas aplicações destes. Para o Teorema do Ponto Fixo de Banach, sua demonstração fornece um processo interativo para encontrar o ponto fixo. Traremos como resultados do Teorema do Ponto Fixo de Banach as Equações Integrais de Fredholm e Volterra, o Teorema de Picard-Lindelöf sobre sistema de equações Diferenciais Ordinárias e a existência de solução fraca de uma Equação Diferencial Parabólica Semilinear. Já Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, seja talvez o teorema de maior relevância a respeito da existência de um ponto Fixo. Possui utilidade e aplicação em áreas diversas dentro da matemática e além dela, produzindo e ampliando conhecimentos em diversas áreas afins. Analisaremos o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, via os estudos realizados por Dunford e J. Schwartz, no qual, apresentam uma prova para o Teorema, utilizando Teoria de Aproximação de Funções, diversas vezes citada em trabalhos envolvendo Ponto Fixo, e de grande rigor matemático. Abordaremos e detalharemos a prova do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, mas também buscaremos motivar este estudo, com um pouco da história deste Matemático genial e algumas demonstrações mais triviais. E nos colocamos em busca de aplicações que possam ilustrar e solidificar toda esta teoria. Finalmente, iremos focar nossos estudos nos Teoremas do Ponto Fixo de Shauder e Shaefer. Tais resultados são de suma importância sobre existência de ponto Fixo para aplicações compactas e descreveremos como estes resultados são utilizados para garantir a existência de soluções de Equações Diferenciais Funcionais com Retardamento (EDFR).. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Clésio Carlos Nascimento - Integrante / Otávio Marcos martins dos Santos - Integrante / Maria Modesto da Silva - Integrante.

• 2017 - 2018

  Um Estudo Ortodoxo das Funções em Varias Variáveis, Descrição: Durante o século 16, matemáticos estavam desenvolvendo uma nova matemática para resolver problemas em ciências físicas. Como o mundo físico é multidimensional (isto é, três dimensões espaciais e o tempo), muitas das quantidades usadas nestes modelos aplicados eram de várias variáveis. Astronomia era uma área da ciência que era rica neste tipo de matemática de várias variáveis. Por isso, o cenário estava sendo montado por astrônomos e matemáticos para o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, para o cálculo de várias variáveis. Galileu (1564--1642) tentou aplicar a matemática ao seu trabalho em astronomia, cinemática e resistência dos materiais. Pelo seu trabalho nestas áreas, é frequentemente chamado de fundador da mecânica e física moderna. O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571--1630) contribuiu grandemente através do desenvolvimento das suas três leis do movimento planetário. Estes resultados mudaram a astronomia e desempenharam um papel crucial no desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudou a desacreditar o modelo geocêntrico de Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de Copérnico. Também montou o cenário para o surgimento da matemática aplicada em várias variáveis. Depois do desenvolvimento do cálculo de uma variável no século 17, sua aplicação para resolver problemas em um mundo multidimensional resultou na necessidade de generalização para incluir funções de mais de uma variável e cálculo de várias variáveis. O que seriam os análogos da derivada e da integral para funções de mais de uma variável? Jean d'Alembert (1717--1783) desenvolveu e usou o cálculo de várias variáveis para lidar com métodos para resolver equações diferenciais e movimento de corpos considerando a resistência do meio. De várias maneira, usou os trabalhos de Newton, L'Hospital e dos Bernoullis para estender os conceitos de cálculo para várias variáveis. D'Alembert pesquisou nesta área e publicou muitos trabalhos em matemática e física matemática. Seu trabalho principal foi o Traité de dynamique (1743), o qual ajudou a fazer com que a diferenciação parcial fizesse parte do cálculo. Próximo na linha de refinamento e uso do cálculo de várias variáveis foi Joseph Louis Lagrange (1736--1813). Este aplicou seu conhecimento de cálculo à mecânica. Foi muito produtivo nesta área aplicada da matemática. Seus principais trabalhos foram sobre as equações de movimento e no entendimento da energia potencial. Lagrange também foi o primeiro a desenvolver os método de hoje para encontrar máximos e mínimos usando cálculo. Seu trabalho em otimização em várias variáveis resultou na técnica que agora chamamos de multiplicadores de Lagrange. Ele tinha apenas 19 anos quando inventou estes métodos e até muito mais tarde em sua vida ainda os considerava como seu melhor trabalho em matemática. Publicou Mécanique analytique (1787), no qual aplicou cálculo de várias variáveis ao movimento e às propriedades de objetos no espaço. Colega de Lagrange, o astrônomo e matemático Pierre-Simon Laplace (1749--1827), se sobressaiu ao resolver, ainda jovem, um problema de gravitação mútua que tinha frustrado Euler e Lagrange. Seu trabalho contribuiu para a análise do sistema solar. Laplace generalizou as leis da mecânica para sua aplicação ao movimento e às propriedades de corpos celestes, por isso precisou e desenvolveu resultados em cálculo de várias variáveis. Seu famoso tratado sobre este assunto foi intitulado Mécanique celeste. Em 1782, Adrien Legendre (1752--1833) venceu um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seu trabalho sobre balística exterior. Analisou a curva descrita pelas bolas de canhão, levando em consideração a resistência do ar e desenvolveu relações para alcance dadas as velocidades iniciais. Legendre pôde desenvolver estas equações a partir de seu trabalho avançado em equações. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Thiago Guimarães de Melo - Integrante / Thyago Souza Rosa Santos - Integrante.

• 2017 - 2018

  Uma Introdução ao Estudo dos Espaços Métricos com Aplicações em Fractais, Descrição: Um estudo sobre Espaços Métricos nos possibilita compreender com mais afinco os temas abordados em um curso introdutório de Análise Funcional; mais precisamente, o aluno cadastrado neste projeto estará apto a participar de discussões envolvendo os famosos Espaços de Banach e de Hilbert; estes estão presentes em um grande índice de circulação de artigos, em âmbito internacional e nacional. Assim sendo, estamos interessados em revisar cuidadosamente alguns conceitos adquiridos em cursos introdutórios de Espaço Métrico e Topologia Geral (disciplina ofertada por um mestrado acadêmico em Matemática) com a finalidade de aprofundar nossos conhecimentos sobre Fractais. Estes, por sua vez, determinam um interessante tema de pesquisa que foi descoberto em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polônia, que revelou a Geometria Fractal (em latim fractus, que significa quebrar) na década de 70. Especificamente, tais objetos apresentam uma forma geométrica não Euclidiana que é geralmente proveniente de um processo recursivo. Entre os conceitos mais relevantes nessa pesquisa estão: Espaços Métricos, Funções Contínuas, Espaços Topológicos, Limites, Continuidade Uniforme, Espaços Métricos Completos, Espaços Compactos e Fractais. É importante ressaltar que, estes tópicos generalizam alguns conceitos, estudados em um curso de Análise Real (disciplina ofertada em uma graduação em Matemática), para o campo dos Espaços Métricos e Topológicos.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Luciana Menezes Vasconcelos - Integrante / Caroline Pereira Santos - Integrante / Maynara Donato dos Souza - Integrante.

• 2017 - 2018

  Um Estudo Introdutório a Teoria das Equações Diferencias Ordinárias, Descrição: As equações diferenciais ordinárias (EDO) são indispensáveis na modelagem de fenômenos presentes nas mais diversas áreas do conhecimento, em que o tempo deve ser admitido como grandeza contínua. A análise dos modelos depende de dados coletados de maneira experimental e que, portanto, estão sujeitos a erros de medição ou coleta, por exemplo. Particularmente espera-se que as soluções de uma EDO possam auxiliar no entendimento do fenômeno em estudo, apesar de pequenas perturbações nos dados experimentais. Porém determinar explicitamente as soluções de qualquer equação diferencial é uma tarefa árdua devido a alta complexidade da maior parte das equações diferenciais envolvidas no processo de modelagem. Portanto o estudo de propriedades qualitativas de soluções de equações diferenciais tem um papel fundamental no desenvolvimento desta análise. Um fenômeno qualitativo de grande interesse é a noção de estabilidade de uma certa solução de uma equação diferencial, a qual será estudado neste projeto de Iniciação Cientifica . Serão desenvolvidos alguns resultados para sistema autônomos com respeito à estabilidade e analisada a estabilidade dos pontos de equilíbrios de determinados fenômenos que iremos estudar. Objetivos Nossos principais objetivos neste projeto estão descritos abaixo: - Aprimorar conceitos básicos, vistos nas disciplinas de graduação através de livros clássicos nas áreas de Álgebra Linear, Análise Real, Geometria Analítica, Cálculo Avançado e Equações Diferenciais Ordinárias. - Posteriormente, conforme as referências sugeridas, os participantes possam com a teoria básica, desenvolver as técnicas obtidas, para atingir o objetivo de estudarmos a Teoria da Estabilidade de pontos de Equilíbrios . - Analisar alguns resultados atuais que utilizam a teoria desenvolvida e tentar aplicar os conhecimentos adquiridos. - Desenvolver no aluno o interesse pela área de Sistemas Dinâmicos, para que estes futuramente possam ingressar em cursos de pós graduação em Matemática. - Promover a interdisciplinaridade com outras áreas para que tais alunos tenham um amplo conhecimento de diversas áreas de pesquisa. Metodologia A metodologia inerente deste projeto de pesquisa em Matemática consiste em os alunos envolvidos, exponham semanalmente ao orientador por meio de reuniões o conteúdo de livros clássicos e mais atuais sobre o assunto, previamente definido pelo orientador. Em seguida, após um aprofundamento da teoria, os participantes irão expor em seminaários, colóquios realizados pela UFS, ciclo de palestras do DMA e da pós graduação em matemática para assim ter o primeiro contato com o meio científico e com as diversas áreas de pesquisa. Os resultados relevantes e alcançados serão divulgados e expostos para o grupo de pesquisa em Mecânica Celeste e sistemas dinâmicos do DMA. Os alunos envolvidos também terão necessariamente que realizar um curso de capacitação nos períodos de janeiro e fevereiro de 2017, na instituição que possua pós graduação em matemática, para assim expanda seus conhecimentos objetivando a entrada destes alunos nos cursos de pós graduação em matemática ou áreas afins, tanto da UFS, quanto de qualque instituição do país de relevância. Impactos Esperados Os resultados esperados se traduzem normalmente que os alunos possam interagir com algumas técnicas impostas para o entendimento do assunto e tal conhecimento possa desencadear no melhor desempenho no seu curso acadêmico. Além disso, todos participantes envolvidos desenvolvam o interesse pela pesquisa e mostrem-se interessados em continuar os estudos em um novo projeto, aprofundando ainda mais na teoria de sistemas dinâmicos. E mais, através da discussão de temas de pesquisa atual em seminários e da orientação destes alunos o projeto proporcionará uma contribuição importante à formação de jovens pesquisadores da UFS, tanto para a pós-graduação em Matemática .. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Leandro Favacho da Costa - Integrante / Camilla Araujo dos Santos - Integrante / Lavínia Batista Silva - Integrante.

• 2017 - 2018

  FORMAS NORMAIS E ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIOS DE SISTEMAS HAMILTONIANOS QUE POSSUEM MÚLTIPLAS RESSOÂNCIAS DE SEGUNDA ORDEM, Descrição: Dado um sistema Hamiltoniano, o problema de determinar se uma solução é estável ou não é de grande relevância em áreas que fazem uso de tais teorias. Em geral o estudo da estabilidade de uma solução arbitrária é equivalente ao estudo de um equilíbrio de um outro sistema Hamiltoniano, assim, é suficiente desenvolver estas teorias para estabilidade de soluções de equilíbrios. O primeiro passo para determinar a estabilidade de um equilíbrio de um sistema Hamiltoniano é estudar a estabilidade do equilíbrio do sistema linearizado, pois se a matriz de tal sistema tem pelo menos um autovalor com parte real não nula, tal equilíbrio é instável. No caso em que todos os autovalores são imaginários puros, só quando o Hamiltoniano do sistema linearizado é definido positivo (ou negativo) temos uma resposta imediata à estabilidade, pois o teorema de Dirichlet-Lagrange guarante a estabilidade no sentido de Lyapunov. Quando a parte quadrática não tem sinal definido, este problema é bem complexo e, apenas em casos particulares temos critérios para conhecer a estabilidade. Neste caso, mostra-se que a instabilidade só pode ocorrer se os autorvalores são linearmente dependente sobre os racionais, ou seja, quando o sistema linearizado é equivalente a n osciladores harmônicos ressonantes desacoplados, onde n é o número de graus de liberdade do sistema ou quando a matriz do sistema linearizado é não-diagonalizável ou, equivalentemente, quando o sistema possui ressonâncias de segunda ordem. O último caso tem sido estudado por alguns matemáticos nos últimos trinta anos e, resultados significantes foram obtidos.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Fábio dos Santos - Integrante / Lucas Rezende Valeriano - Integrante.

• 2017 - Atual

  Uma Introdução ao Estudo dos Espaços Métricos com Aplicações em Fractais, Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Integrante / Wilberclay Gonçalves de Melo - Coordenador.

• 2017 - Atual

  Projeto para Estímulo ao Aumento da Efetividade do Programas de Pós-Graduação em Matemática da UFS, Descrição: O Projeto para Estímulo ao Aumento da Efetividade do Programas de Pós-Graduação em Matemática da UFS visa ampliar as atividades de pesquisa em Matemática no estado de Sergipe através da realização de eventos científicos, visitas científicas de pesquisadores de instituições do Brasil e do exterior e da participação de discentes e docentes do programa em reuniões científicas especializadas. Os pesquisadores envolvidos já possuem uma boa produção acadêmica e este projeto pretende fornecer meios de aprofundar essas relações através do intercâmbio de pessoal. Com isto espera-se que o Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFS (PROMAT), único em Sergipe a oferecer mestrado acadêmico na área, possa em breve melhorar seu nível de avaliação na CAPES de 3 para 4. Para alcançar tal propósito projeta-se que tais atividades possam melhorar os índices de produção acadêmica do PROMAT, melhorar o nível das dissertações defendidas por seu alunos, promover eventos científicos de boa qualidade, garantir aos mestres recém-formados sua inserção em programas de doutorado de excelência e assim atrair bons alunos para o mestrado do PROMAT.. Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa.. , Situação: Em andamento; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Mestrado acadêmico: (20) / Mestrado profissional: (35) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / José Anderson Valença Cardoso - Integrante / Fábio dos Santos - Integrante / Lucas Rezende Valeriano - Integrante / Zaquel Alves Ramos - Integrante / Buno Luís de Andrade - Integrante / Disson dos Prazeres - Integrante / Marcelo Fernandes de Almeida - Integrante.

• 2016 - 2018

  Um Estudo Introdutório à Análise Funcional, Descrição: Uma introdução à Analise Funcional é imprescindível para um estudo mais aprofundado em Equações Diferenciais Parciais. Este argumento pode ser observado, por exemplo, na busca de uma solução para determinadas Equações Diferenciais Parciais Elípticas através da aplicação do Teorema de Lax-Milgram (resultado estudado na teoria elementar dos Espaços de Hilbert). Assim sendo, estamos interessados em revisar cuidadosamente alguns conceitos adquiridos no curso de Álgebra Linear em ordem a aprofundar nossos conhecimentos em Análise Funcional, com o intuito de chegarmos a demonstrar alguns resultados elementares encontrados na literatura para os Espaços Banach e de Hilbert. Entre os conceitos mais relevantes, envolvendo a Álgebra Linear, nessa pesquisa estão: Espaços vetoriais, Transformações Lineares, Autovalores, Autovetores, Espaços com Produto Interno, Operadores Normais, Operadores Auto-adjuntos, Operadores Unitários e Formas Canônicas. Além disso, este projeto avalia os seguintes assuntos que estão inseridos em uma introdução à Análise Funcional: Espaços de Banach e de Hilbert. Por fim, é importante ressaltar que usaremos algumas ideias, estudadas na graduação, para alcançarmos novos patamares em busca de uma carreira acadêmica em Equações Diferenciais.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (3) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Wilberclay Gonçalves de Melo - Integrante / Luciana Menezes Vasconcelos - Integrante.

• 2016 - 2018

  Uma Introdução à Mecânica Celeste: As Leis de Kepler e o Problema dos Dois Corpos, Descrição: A Mecânica Celeste é uma área da matemática que estuda o movimento dos corpos celestes a partir das leis da mecânica, ou mais precisamente, a Mecânica Celeste e o corpo de conhecimentos resultantes de duas leis da natureza, a segunda lei da dinâmica e a lei da gravitação o universal, ambas descobertas por Isaac Newton, por volta dos anos 60 do século XVII. A segunda lei da dinâmica afirma que A força que atua sobre uma partícula material é igual a taxa de variação de seu momento linear, lembrando que o momento linear de uma partícula material é o produto de sua massa pela sua velocidade, assim, se a massa não depende do tempo, a segunda lei de Newton tem o seguinte enunciado: força é igual a massa vezes aceleração. Por outro lado a lei de gravitação o universal afirma que: No universo duas partículas materiais quaisquer atraem-se com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. O objetivo crucial da Mecânica Celeste é o de resolver a importante questão de saber se as leis de Newton explicam, todos os fenômenos astronômicos e os diversos fenômenos naturais. Sir Isaac Newton se apoiou para descobrir a lei da gravitação universal, em três leis planetárias clássicas, desenvolvidas pelo astrônomo Johann Kepler em meados do século XVI. Kepler, concentrou seus estudos sobre a órbita de Marte e finalmente concluiu que a órbita deste planeta é uma elipse em torno do Sol com este ocupando um dos focos. Estudando as órbitas dos outros planetas verificou que elas seguiam a mesma lei. Descobriu, também, a lei das áreas que afirma que a variação da área descrita pelo raio vetor do planeta é proporcional ao tempo decorrido. Em 1619, dez anos após enunciar as suas duas primeiras leis planetárias, Kepler deu a conhecer a sua terceira lei que diz respeito ao movimento dos vários planetas conjuntamente e não a cada um isoladamente, a saber, os quadrados dos tempos de revolução dos planetas em torno do Sol estão entre si como os cubos de suas distâncias médias a este astro. Através destes estudos, apresenta-se uma análise das características principais do problema de dois corpos. Tal análise é feita através da resolução do problema utilizando abordagens ligeiramente diferentes, a fim de mostrar a equivalência entre elas. Como resultado, obtém-se as soluções do problema de dois corpos, as quais são seções cônicas, em termos de coordenadas polares e constata-se sua dependência das condições inicias do problema. Enfim devido a amplidão de aplicações de tais teorias no dia a dia é de extrema importância um contato com tais estudos, exercendo uma interdiciplinaridade extremamente interessante entre diversas áreas, como matemática, física e astronomia, cruciais para o desenvolvimento intelecto de alunos de qualquer âmbito das ciências exatas.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Thyago Souza Rosa Santos - Integrante / Íris Jalane Nascimento - Integrante.

• 2016 - 2018

  ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIOS DE SISTEMAS HAMILTONIANOS COM UM GRAU DE LIBERDADE ORDEM, Descrição: Dado um sistema Hamiltoniano, o problema de determinar se uma solução é estável ou não é de grande relevância em áreas que fazem uso de tais teorias. Em geral o estudo da estabilidade de uma solução arbitrária é equivalente ao estudo de um equilíbrio de um outro sistema Hamiltoniano, assim, é suficiente desenvolver estas teorias para estabilidade de soluções de equilíbrios. O primeiro passo para determinar a estabilidade de um equilíbrio de um sistema Hamiltoniano é estudar a estabilidade do equilíbrio do sistema linearizado, pois se a matriz de tal sistema tem pelo menos um autovalor com parte real não nula, tal equilíbrio é instável. No caso em que todos os autovalores são imaginários puros, só quando o Hamiltoniano do sistema linearizado é definido positivo (ou negativo) temos uma resposta imediata à estabilidade, pois o teorema de Dirichlet- Lagrange guarante a estabilidade no sentido de Lyapunov. Quando a parte quadrática não tem sinal definido, este problema é bem complexo e, apenas em casos particulares temos critérios para conhecer a estabilidade. Neste caso, mostra-se que a instabilidade só pode ocorrer se os autorvalores são linearmente dependente sobre os racionais, ou seja, quando o sistema linearizado é equivalente a n osciladores harmônicos ressonantes desacoplados, onde n é o número de graus de liberdade do sistema ou quando a matriz do sistema linearizado é não-diagonalizável ou, equivalentemente, quando o sistema possui ressonâncias de segunda ordem. O último caso tem sido estudado por alguns matemáticos nos últimos trinta anos e, resultados significantes foram obtidos. Durante a década de 60 e 70 vários matemáticos, principalmente da escola Russa se dedicaram ao problema de estabilidade de equilíbrios. Nós últimos anos pouquíssimas pessoas se dedicam a esta área e poucos são os resultados recentes de grande relevância. Uma grande dificuldade da área é a pouca vastidão de resultados gerais que podem ser aplicados. Por exemplo, com o desenvolvimento da teoria KAM, vários matemáticos trabalharam na direção de usar tal teoria para estabelecer estabilidade, só que esta técnica impõe grandes limitações, por exemplo, de dimensões, já que tal teoria só vale no plano.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Fábio dos Santos - Integrante / Luciana Menezes Vasconcelos - Integrante / Ricardo Lopes de Jesus - Integrante.

• 2016 - 2017

  Uma Introdução à Topologia Geral, Descrição: Provavelmente a Topologia é uma das mais novas linhas de pequisa da Matemática clássica, pois a Topologia aparece no século XVII com o nome de Analyse Situs, isto é análise da posição. Muitos autores concordam que o primeiro ? a tentar estudar propriedades topológicas foi Leibniz, em 1679. Posteriormente, Euler em 1736 publica a solução do problema das pontes da cidade de Koenigsberg, intitulado ?Solutio problematis ad geometriam situs per- ¨ tinentis?. As bases da Topologia moderna foram estabelecidas no Congresso Internacional de Matemática de 1909, em Roma, onde Riesz propõe um caráter axiomático da Topologia, baseado na teoria dos conjuntos, sem ´ o conceito de distancia subjacente. Em 1914, Hausdorff define os conjuntos abertos através de axiomas, sem considerações métricas. Existem outras ´ vertentes onde a topologia encontrou novos impulsos para seu desenvolvimento, por exemplo, na Analise Funcional e nas Equações Diferenciais Ordinárias, através de Banach e Poincaré, respectivamente. ´ A Topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferença: Não interessa a distância, os ângulos nem a configuração dos ? pontos. Na Topologia, objetos que possam transformar-se em outros, através de funções contínuas reversíveis, são equivalentes e indistinguíveis. ? Por exemplo, círculos e elipses, esferas e paralelepípedos. A Topologia e pré-requisito básico em quase todas as áreas da Matemática moderna, da Geometria Diferencial à Álgebra e é fonte atual de eferves ´ cente pesquisa, em matemática e áreas afins.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (1) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / Lucas Rezende Valeriano - Integrante / Antônio Guimarães melo - Integrante.

• 2015 - 2016

  O Operador de Laplace-Beltrami sobre uma Variedade Compacta sem Bordo, seu Espectro e Aplicações, Descrição: As pesquisas em Matemática nas últimas décadas têm vivido um enorme desenvolvimento devido a sua extensa aplicação nas várias áreas da ciência. Destacamos na matemática as Equações Diferencias Paciais - EDP por sua grande influência em modelos que surgem da física e da biologia, a exemplo das Equações de Reação e Difusão, dos Sistemas de Leis de Conservação, da Hidrodinâmica, da formação de tecidos e padrões dentro de organismos vivos e crescimento de tumores. Uma outra classe importante de EDPs surge de problemas em geometria diferencial, com grande destaque para o problema de Yamabe. Neste projeto, pretendemos estudar o operador de Laplace - Beltrami sobre uma variedade conexa compacta sem bordo, que é um dos temas daquilo que podemos chamar de ``Análise Geométrica'', em sua versão mais básica. Para desenvolver o estudo sobre o tema precisamos de muitas ferramentas básicas da matemática, como os cursos de cálculo da graduação e outros pré-requisitos necessários ao estudo. A motivação para a escolha deste tema, que visa o aprofundamento de conhecimento e a possibilidae de elaboração de algo novo, deve-se ao fato de apenas os conhecimentos adquiridos nos cursos da grade curricular da graduação, não tornar o aluno capaz de entrar em contato, de modo natural, com conceitos um pouco mais sofisticados do ponto de vista matemático, inerentes às áreas teóricas e aplicadas. Pretendemos estudar e assim elaborar um texto sobre o tema com uma abordagem matemática simples e que sirva de referência aos alunos que pretendam estudar o assunto.. , Situação: Concluído; Natureza: Pesquisa. , Alunos envolvidos: Graduação: (2) . , Integrantes: Gerson Cruz Araujo - Coordenador / José Anderson Valença Cardoso - Integrante / Paulo de Sousa Rabelo - Integrante.